Esquema
general entre la teoría de superficies, la lógica y la doctrina psicoanalítica
Un poco de topología básica
de superficies resumida
Un pedazo de superficie se denomina una pastilla esférica porque es una
esfera agujereada. En la geometría topológica, las superficies se sitúan en una
esfera y no en un plano. Éste se utiliza como base para la geometría
dimensional al modo cartesiano, pero la superficie de base para la topología es
la esfera. Es una manera de no pensar los espacios teniendo extensión infinita
sino que en principio son cerrados. Un espacio cerrado siempre será en
principio acotado (Borné) ya que cabría en una esfera de un radio determinado
mientras que los espacios euclidianos basados en el concepto de plano se
pierden en el infinito. Dicha esfera puede construirse a partir de un plano
curvado al que se le añade un punto, el del infinito, y así queda cerrado; además,
esa añadidura convierte la superficie en compacta, ya que el plano no lo es por
no serlo en el infinito (a veces se lo denomina “localmente compacto”). Un
ejemplo es la superficie de la tierra, que es un plano más el punto del polo
norte. Si, siguiendo el camino inverso, se elimina ese punto y se aplana la
superficie aparece un borde con forma habitual de rectángulo: es el mapamundi
que aparece colgado en la pared de los colegios; lo que nos enseña que sólo
eliminar un punto crea una línea de borde. Tenemos así que los espacios pueden
tener agujeros pero sin perderse en el infinito. Fíjense en el hecho de que la
sola extracción de un punto crea un borde circular que podría cerrarse con una
pastilla.
Este rectángulo es simplemente darle una forma distinta al círculo de
borde, ya que la forma no tiene importancia en topología; lo imaginario de
Teoría básica
La esfera que nos sirve de base puede contener agujeros simples, bordes
circulares, y entonces diremos que está agujereada. También puede contener
bandas de Möbius y asas o mangas de toro[1].
Véanse gráficos:
Esfera y esfera agujereada. Toro con el corte que lo rompe en un asa y la extracción de una pastilla esférica que lo agujerea.
Pedazo de esfera agujereada al que se le pega una banda de Möbius, en un segundo agujero, y queda como un cross-cap pegado, tal como indica el siguiente gráfico.
Se visualiza bien cómo en el cross-cap
la superficie única pasa por dentro de ella misma haciendo creer al sujeto que
existe “un dentro y un fuera”. No es cierto ya que “lo real” que está fuera de
ella tanto parece estar “dentro”, cuando es visto desde la cara interior del
lóbulo exterior, como parece estar “fuera” cuando es visto desde la cara exterior
del lóbulo interior. Véase gráfico con superficie truncada para visualizarlo:
Es lo que Lacan denomina extimidad
en el Seminario “De un Otro al otro”. Lo recordamos para que nadie se apropie de lo
que no es suyo.
Pegado de un asa que convierte al pedazo de esfera agujereada en un toro agujereado.
Si la superficie no tiene ni agujeros ni bandas de Möbius ni asas, es
una esfera simple. Si tiene un agujero es una pastilla esférica. Si tiene un
asa es un toro, si contiene muchas asas es un multi-toro. Si tiene una banda de
Möbius es un plano proyectivo. Si tiene una banda de Möbius es una banda de
Möbius. Si tiene dos bandas de Möbius es una botella de Klein. Si tiene dos
bandas de Möbius y un agujero es una botella de Klein agujereada. En resumen,
toda superficie puede reducirse a una esfera con bandas de Möbius y asas;
además puede tener un número determinado de agujeros.
Los agujeros nos definen los bordes. Las asas nos definen el segundo
tipo de agujero: tórico que no tiene borde. Las bandas de Möbius nos definen el
paso de lo orientable a no-orientable o de bilátero a unilátero al poner en
contacto las dos caras de la esfera.
En consecuencia, si no tiene bandas de Möbius es una superficie
bilátera y por tanto orientable, o lo que es lo mismo, tiene dos caras. Si
tiene al menos una banda de Möbius, es una superficie unilátera, de una sola
cara, y por tanto no-orientable. El número de asas indica el número de agujeros
tóricos que la forman. Y el número de bordes, agujeros simples, indica el
número de bordes. Esos bordes pueden estar relacionados entre sí o no estarlo.
Si no lo están, se dice que los componentes del borde son no-conexos; si son
conexos tienen alguna intersección entre ellos. Si son no-conexos puede darse
el caso de que se enlacen entre ellos o que se anuden como en una cadena-nudo.
Es importante retener esta idea de que los bordes de una superficie pueden
estar anudados, ya que más adelante la usamos como fundamental puesto que puede
considerarse la teoría de nudos como el estudio de los bordes de superficies. O
generalizando, el estudio del “borde” con anudamiento de dimensión N-1 de
cualquier espacio de dimensión N.
Luego la teoría de nudos es el estudio
del borde de dimensión N-1 (que puede ser no-conexo, conexo, entrelazado o
anudado) de objetos de dimensión N.
En el caso de las superficies, el espacio es de dimensión 2 y los
bordes de dimensión 1. No hay que confundir esta diferencia con la codimensión:
ésta es la diferencia entre el espacio continente y el espacio contenido para
que éste “entre” sin problema en él[2].
Resumen:
-
Dimensión del
espacio continente
-
Dimensión del
espacio contenido u objeto estudiado
-
Dimensión de los
bordes-agujero del objeto estudiado
Es importante fijarse en el hecho de que, si añadir una banda de Möbius
convierte las superficies biláteras en uniláteras, el hecho de añadir una
segunda banda de Möbius no revierte la situación: no convierte la superficie
unilátera en bilátera; la situación es un poco más compleja, como nos indica el
teorema que comentamos a continuación. De hecho, añadir una segunda banda nos
la convierte en una superficie unilátera denominada Botella de Klein.
Teorema fundamental
Una superficie puede reducirse a tener
sólo 0, 1, o 2 bandas de Möbius porque dos bandas de Möbius en presencia de una
tercera se convierten en un asa. Así
que siempre podemos ir eliminando bandas hasta que queden dos como máximo que
no pueden eliminarse por falta de la tercera. Este teorema se lo conoce como teorema fundamental de la teoría de
superficies.
Debemos retener que el número par o impar de bandas de Möbius nos
indica la “paridad” de una superficie. Por ejemplo, si hay 30, al final nos
quedarán 2 y será una botella de Klein; si fuesen 31 sólo nos quedaría una y
sería un plano proyectivo. Si tiene 0 es una superficie bilátera. Existen
muchas “presentaciones” de las superficies, pero estructuralmente sólo hay tres
posibilidades: o esfera, o plano proyectivo o botella de Klein desde el punto
de vista de la orientabilidad. Ahora añadimos la segunda parte del teorema: una superficie es equivalente a una esfera
con 0, 1 o 2 bandas de Möbius más un número de
Es importante no confundir un
tipo de agujero con el otro. Véase gráfico:
Arriba: Multitoro con tres agujeros tóricos y ningún borde (agujero simple). Abajo: Multitoro con dos agujeros tóricos y dos agujeros de borde.
Resumen:
-
0, 1 o 2 bandas
de Möbius: esfera, plano proyectivo, botella de Klein.
-
De
-
De
-
Dichos agujeros
simples son conexos o no; si no lo son pueden estar anudados o entrelazados, o
las dos cosas o ninguna de las dos.
-
Puede darse todo
a la vez: por ejemplo, que sea una botella de Klein con siete agujeros tóricos
y 3 bordes no-conexos anudados y 4 bordes conexos intersectados.
Lógica y topología en psicoanálisis
Si en la lógica científica se grafican (extensión) los enunciados
mediante una círculo sin torsión dibujado sobre una superficie plana, denotados
como círculos de Euler-Ven, ahora, desde la topología, los definiremos como
círculos de varios tipos sobre superficies de cualquier estructura en el
sentido que hemos explicado. En adelante vamos a situar nuestra lógica, la
lógica del Inconsciente o la lógica del psicoanálisis sobre superficies mucho
más complicadas y nuestros círculos también van a ser más complicados. Las superficies tendrán
asas o agujeros o bandas de Möbius y los círculos podrán tener varias vueltas.
Los círculos provendrán de operaciones en la cadena significante,
estudiada con topología algebraica que ahora no definimos, mediante la
operación borde ligada en ella a la función de la palabra y sus cortes en el
discurso. Luego también en su dimensión temporal. Cortes en el discurso que
producirán bordes. Esta operación tampoco la definimos, pero indicamos que
obtiene una cadena de una dimensión inferior a la de la cadena significante, es
decir, de dimensión uno. La cadena significante es de dimensión 2 y sus bordes
son de dimensión 1, es decir: la cadena tiene la misma dimensión que las
superficies y sus bordes la misma que los círculos. Por eso sirven para hacer
sus extensiones. Los bordes de la cadena los reconvertimos en círculos y éstos
son los círculos que vamos a estudiar en sus efectos de corte, o no, en las
nuevas superficies o estructura del aparato psíquico sobre el que actúa la
palabra. Sean estos espacios los del deseo, de la demanda o de la realidad. A
la inversa, dicha estructura condiciona la función de la palabra.
Relación entre la doctrina y la topología
Si dos bandas de Möbius en presencia de una tercera se convierten en un
asa (que cerrada es un toro) eso implica que hay una relación estructural
profunda entre el agujero tórico y la torsión de la banda de Möbius. Dicho de
otra manera, entre ese agujero especial sin borde y la propiedad que invierte
la orientabilidad de una superficie al poner en continuidad sus dos caras. Esta
propiedad es 
. El agujero tórico sitúa al objeto @ como causa del deseo.
Los círculos especiales, ocho interior, sitúan al borde de la cadena
significante en el fantasma y el embobinado en el toro, es decir, al sujeto en
la estructura de re-petición. Es el deseo lo que hay en común entre las dos
teorizaciones. Lacan denomina la relación entre las dos estructuras Involución significante y es en L’Étourdit donde da una definición más
precisa. Evidentemente, el objeto @ es la causa
del deseo en el toro y el petit @
en el plano proyectivo[4].
Si supusiéramos que tenemos un plano proyectivo con una asa, el objeto
recortado en la zona del cross-cap es
el que da imagen no-especular, como petit @, al agujero tórico en tanto objeto
@ causa del deseo.
La propiedad de que dos bandas de Möbius, en presencia de una tercera,
no lo olvidemos, se conviertan en un asa se pre-visualiza mejor si tenemos en
cuenta que para que dos bandas de Möbius se cosan entre ellas hay que suponer
que tienen la orientación contraria en sus bordes[5].
Ver gráfico:
Lo vemos mejor si pensamos que pegar dos bandas de Möbius es lo mismo
que pegar un asa pero con orientación contraria en cada borde. Con lo que vemos
la inversión del asa de
No vamos a profundizar más en la doctrina de superficies ya que hemos
hecho algunas referencias en ítems anteriores. Pero sí vamos a ver su aspecto
básico, que nos permitirá comprender mejor la estructura de nudos que estamos
elaborando.
Nudo y superficie en el esquema R
El esquema R es el esquema que Lacan tiene al comienzo de su obra del
aparato psíquico. Hemos visto que sólo contiene dos registros, simbólico e
imaginario, y un tercer elemento: la banda de la realidad, que será en el año
66 re-rigorizada como del fantasma. Lo primero que tenemos que indicar es que el
esquema R es una manera de presentar un plano proyectivo, es decir, una superficie; una esfera con una banda
de Möbius, sin agujero tórico y sin agujero de borde. Luego es una superficie
cerrada. Remarcamos que:
-
El
plano proyectivo es una superficie no-orientable, es decir, que tiene una sola
cara. Luego nada de doble inscripción. Deseo y realidad son la misma cosa,
aunque localmente, en el entorno de un punto, parece que sean dos cosas
distintas.
-
Un
plano proyectivo, aunque es bidimensional, no “entra”, no puede sumergirse[6]
en un espacio tridimensional clásico[7],
de la percepción, así que para representarlo hay que retorcerlo y hacer que
algunos puntos de la superficie original, que no tiene ningún retorcimiento,
aparezcan siendo el mismo en el espacio tridimensional. Ese truco de
representación recibe el nombre de “inmersión” y en nuestro caso hace que
aparezca una línea de auto-atravesamiento, que, repetimos, no existe en la
superficie original. Si se lo sumerge en dimensión cuatro, es decir, fuera de nuestra
percepción ya no es necesaria esa línea lo que nos indica que la codimensión
dos, como entre los nudos y el espacio en el que están sumergidos, es de una
extraordinaria importancia. La inmersión de un plano proyectivo efectuada así
recibe el nombre de cross-cap que
puede presentarse cerrado como hace habitualmente Lacan o agujereado en lo que
se conoce como birrete de obispo.
-
El
hecho de que sea cerrada indica que no hay abismos y el sujeto puede
desplazarse por ella sin tener nunca la sensación de que puede caerse por
dichos abismos[8]. Ése es su déficit, ya que
impide situar bien la castración psicoanalítica, el agujero en el centro de lo
imaginario que supone 
. Lacan suple dicho déficit diferenciando en el cross-cap dos tipos de círculos. Los que
pasan por la zona de inmersión y los que no. Los que no pasan y que cortan una
pastilla esférica, que crean un agujero de borde, los usa para .
-
Además
están los círculos centrales, los que pasan por la zona central. Éstos son a su
vez de dos clases: los de una sola vuelta que rompen la superficie, que queda
como una superficie bilátera que no tienen interés, de momento, ya que rompen
la estructura, y los que dan dos vueltas, en ocho interior, a su alrededor.
Éstos definen una banda de Möbius dentro de dicha superficie, que es a su vez
una banda de Möbius, que Lacan denomina fantasma sostenedor del deseo-realidad
que ya no es así sostenido sólo por las identificaciones.
-
Esta
banda obtenida de esa manera es la que obtiene el Helix, el corte es el Sujeto
y lo obtenido es el objeto @. Recortar el objeto es el Sujeto mismo. Queda así
el objeto “articulado” con . Esto se efectúa mucho mejor en una superficie que sea una
Botella de Klein como veremos en ítems posteriores.
-
Una
propiedad importante es que esa banda puede retraerse y convertirse en un
círculo simple sin que el cross-cap
pierda su estructura[9].
Es decir, puede abrirse o cerrarse, dando pie a que el fantasma se presente o
no tal como la clínica nos lo enseña. Y también a que podamos, cuando está
abierta, obtener una banda de apertura al registro real que está fuera de la
superficie, ya que Lacan aún no ha podido anudarlo. Ver gráficos:
Cerrado Abierto
Lo mismo visto directamente en el cross-cap:
-
Esta
apertura y cierre de la banda puede darse de forma que se autoatraviese,
aprovechando una propiedad de equivalencia de círculos (ocho interior y círculo
central de una sola vuelta) que explicamos en el ítem posterior, y a la vez
siguiente se abra con el ocho interior en torsión contraria. Es lo que se
denomina atravesamiento del fantasma[10].
En dicho autoatravesamiento puede darse también un momento en el que 
, o lo que es lo mismo, la definición de acto analítico que
Lacan da al final del Seminario XV
aunque hay diferencias que no podemos situar bien con la doctrina de
superficies. Es difícil sólo con superficies de un solo borde diferenciar el
acto analítico del atravesamiento del fantasma y sobretodo del salto por la
ventana que es su fallo más estrepitoso.
Queda ahora claro que en el caso del esquema R Lacan parte de un plano
proyectivo sin asas tóricas. En su inmersión en cross-cap se plantea un agujero simple, uno sólo. Este componente
de borde aparecería si quitásemos un trocito circular y así sitúa la
castración. Pero además se plantea otro corte que quitaría una pastilla
a-esférica: el ocho interior alrededor de la línea de autoatravesamiento. El
ocho interior no es un anudamiento de dos nudos, ya que sólo hay uno, pero sí
es un nudo con una presentación algo más que circular, aunque no está anudado
él mismo como lo sería un trébol: tiene torsión sobre sí mismo.
Cuando se hace el corte simple pero por la línea de autoatravesamiento la
superfice se rompe y pierde la estructura. Es lo que usa, como veremos, para la articulación con el toro. Y si se
elimina un punto especial (no es una operación corte) que genera un borde muy
especial, entonces aparece el esquema I de la psicosis porque la superficie
contiene abismos y ya no es ni cerrada ni unilátera.
Bordes no
conexos y anudados
Ésta es la clave de lo que estamos construyendo tal como indicábamos
mas arriba. Una superficie con bordes (agujeros simples), ya que puede tener
desde cero a infinitos, puede hacernos creer que cada borde es una dimensión
cerrada. Es decir, cada borde es como una recta cerrada con el punto del
infinito. Si ahora suponemos que dichos bordes se entrecruzan nos harían las
veces de tres dimensiones cartesianas cerradas. Algo parecido a esto, como si
fuesen tres coordenadas cartesianas esféricas:
Si dichas coordenadas
se intersectasen, borde conexo, en un punto, sería así:
Si, por el contrario, dichos bordes no son conexos y están anudados,
por ejemplo borromeamente, entonces el borde de dicha superficie, tomando como
borde la suma de todos sus bordes o agujeros, sería “tridimensional”. Algo
parecido a esto:
Pero lo importante es que sería el borde de una superficie y esa superficie
sería el espacio en el que se habitaría o
aparato psíquico. El equivalente ampliado del plano proyectivo del Esquema
R. Al mantener agujeros simples en la superficie hemos obtenido lo que
denominamos suplencias multidimensionales (cartesianas o borromeas), de la
tercera dimensión que no existe, dentro de la superficie original. Se ve que
cada borde es de la misma pasta que otro con lo que las dimensiones son del
mismo tipo. Evidentemente, puede hacerse con cuatro bordes anudados
borromeamente, pero el dibujo es complicado y ya lo pondremos en su momento.
Si la superficie fuese una función en el plano complejo, cada borde
tendría las dos unidades en juego: 1 e “Íes”, Uno y 
en psicoanálisis, pero
sería de la misma pasta que las otras. Es, pues, una forma de situar lo
multidimensional partiendo de sólo dos
dimensiones verdaderamente diferentes como ya hemos definido en ítems
anteriores. En este punto estamos de acuerdo con Lacan cuando indica que desde
el punto de vista del rasgo unario, en su faceta de trazo escrito, en su faceta
de dimensión, cada consistencia sería igual que otra.
La diferenciación es algo mucho más complejo y lo dejamos de momento
sin abordar. Pero lo que sí se ve es que la superficie que tiene como bordes nuestros
tres registros anudados haría que apareciese una superficie con varias
torsiones en esa “hiperboca”. Esa superficie en la zona “dupe”, zona del
anudamiento de los bordes de la superficie, nos permitirá situar nuestro nuevo
aparato psíquico como una superficie de
tensión de la cadena-nudo borronea en su forma más simple “mis à plat”, una
superficie en la que podremos hacer cortes. Dicha superficie de tensión de una
cadena borronea de 3 nudos tiene esta forma que es estructuralmente equivalente
a una banda de Möbius dos veces agujereada:
Veremos en ítems posteriores la castración como agujeros en la banda de
Möbius, luego en esta superficie podremos situar las dos castraciones. En un
segundo momento habrá que ver qué tipos de cortes se pueden efectuar en dicha
superficie. Este camino es diferente del de Lacan: él estudiaba más cada nudo o
registro como una superficie plana o en forma de anilla con un solo agujero,
unas veces simple y otras tórico, y las intersecciones de dichas superficies
cuando los registros están anudados. Es lo que ya vimos como agujero,
consistencia y ex-sistencia y sus posibles insistencias. Eso es lo que comienza
a hacer Lacan en el Seminario de los
nombres del padre cuando sitúa los goces en el nudo borromeo. Nosotros lo
hemos ampliado a las tópicas además de los goces situando entre los nudos de la
cadena-nudo las tópicas freudianas:
Volveremos sobre el camino de Lacan, pero lo haremos como paso
siguiente al corte que estamos buscando. Lo hacemos así porque es una propiedad
del nudo mismo sin diferenciar los registros. Son caminos que se suplementan ya
que son dos tipos de superficies que sitúan dos elementos distintos: uno, el nuestro
siguiendo alguna indicación de JM Vappereau, que son las operaciones del
Sujeto, dos, los goces sobre los que actúa que es más cercano al de Lacan. El
camino de Lacan permite situar el síntoma distinto del sinthome u otros
elementos de la doctrina. Por el contrario, el nuestro permite pensar el corte
que puede cambiar en un momento dado una estructuración. El camino de Lacan
ayuda a diagnosticar y dirigir la cura en función de dichos diagnósticos
estructurales; el nuestro está más enfocado a pensar, en cada estructura qué
corte puede poner en relación el objeto y las castraciones, en analogía con el
corte del objeto y la castración en la época de las superficies, y que
desarrollamos y ampliamos un poco en el ítem que sigue a éste.